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第五节 问题式教学思想及其数学案例解读
人类具有“问题解决”的天分，围绕“问题”和“问题解决”，人类有许多的特殊爱好，孩子从小就好问这问那，有时问得大人都挠头；人们还喜欢对问题的结论提出假设，有了一个答案还想找出其他的结论；人们还有预测自己行动结果的倾向，采用逻辑的推理作出决策；人们还常常借助自己的想像力想出创造性的问题解决方法，并由此产生新颖的成果或结论。“问题解决”是如此的普遍，它不仅是一个令人着迷的话题，甚至被某些专家称作“21世纪课程的基础”。 一、问题的内涵与要素 1、问题的意义 美国数学家哈尔莫斯指出:定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。数学科学的起源和发展是由问题引起的。数学家之所以得以存在，其主要原因在于解决各种问题，故而真正构成数学的是问题和问题解决。我国秦汉时期的数学著作《周牌算经》和《九章算术》就是当时数学家解决应用问题成果的汇集。几何学萌芽于古埃及，也是从尼罗河流域的土地测量问题而产生的，并后来在古希腊发展起来的。 1900年，数学家希尔伯特在他的《数学问题》报告中，就深刻地阐述了问题对科学发展，特别是数学科学发展的重要意义。某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。数学问题是数学科学发展的动力。数学发展史证明，问题对数学科学的发展方向，以及数学观点、方法、思想的形成，都具有决定性的影响，离开问题，数学就不能发展。 由于数学思维就是解决数学问题的心智活动，思维过程中总是表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，因此数学问题是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。问题对思维具有定向作用，因此问题是探索活动中的路灯和灯塔。问题的聚焦作用，使主体的思维活动有了共同的目标，有了深入的交流，有了共同认可的价值，形成并发展为共同的观念。数学思维是数学活动中的思维，是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的一般性认识。因此问题性是思维的本质属性，思维过程表现为提出问题和解决问题的过程。 2、问题的内涵 数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学理论或方法才能解决的问题，称为数学问题。由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。 从学校教学的角度来看，概括而言，数学题是指数学上要求回答或解释的题目，需要研究或解决的矛盾。从初始状态到目标状态之间的障碍，现有水平与客观需要之间的矛盾，才是数学题的实质。传统的数学题具有接受性、封闭性和确定性的特征。学生通过对教材的简单模仿和操作练习，基本就能完成；其结构是常规的，答案确定，条件不多不少，可以按照现成的公式或常规的思路获得解决，主要目的在于巩固知识和训练技能。这类题目可以称为“练习题”（Exercise）。 作为“问题解决”的数学题，对“问题”提出了较高的要求。波利亚将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。解决问题是寻找这种活动”。1988年第6届国际数学教育大会的一份报告指出：“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的尚未解决的情境。”这类题目可以称为“问题”（Problem）。一般认为，问题应具备如下三个特征：（1）可接受性：学生具有解决问题的能力和心向；（2）障碍性：不能直接看出它的解法和答案；（3）探究性:不能按照现成的公式或常规的套路去解决。 3、问题的要素 心理学家们普遍认为，所有的问题都含有以下三个基本成分[1]： （1）给定的条件。是指一组已经是明确知道的关于问题的条件的描述，即问题的起始状态。 （2）要达到的目标。是指关于构成问题的结论的明确的描述，即问题要求的答案或目标状态。 （3）存在的障碍。是指问题的解决方法不是显而易见的，必须间接地通过一定的思维活动，才能找到答案而达到目标状态。 任何一个“问题”，都是由这三个成分有机地结合在一起的。为此可以把“问题”定义为：给定信息和要达到的目标之间有某些障碍需要被克服的刺激情境。 也有的学者认为，问题作为一种认知情境，通常应具备如下三个要素： （1）未知事物。赫尔巴特说，与旧有知识相关的新事物会引起我们的注意，而我们全然未知的事物是不会引起我们注意的；熟知的事物尽管可以引起我们的注意，但其注意是不会持久的。所以，知与不知的混合物才会引起学生强烈的智力兴趣和积极活跃的探究活动。 （2）思维动机。心理学研究表明，人都有填补认知空缺，解决认知失衡的需要。正是学生已有知识经验与新问题的这一矛盾，引起学生的认知需要，从而激起强烈的认知兴趣和探索愿望。学生内心具有了学习新知识的渴望，就会促使他们去思考和探究。 （3）认知水平。即学习的可能性，包括学生的创造力水平和已达到的知识水平。问题必须让学生在已达到的知识水平上觉察得到，但仅凭这些知识经验仍无法一下子解决，这是思维的开端。然后学生必须具备一定的能力，才能使思维得以进行下去。 二、问题的分类与特征 1、问题的分类 根据不同分类标准，可以对问题分成各种类型。比如，布卢姆在《教育目标分类学》中，依据人的认知水平，把问题从低到高分为:知识性问题、理解性问题、应用性问题、分析性问题、综合性问题和评价性问题。具体到数学学科，比如，有人把问题分为现实数学问题和学校数学问题：数学问题的产生渊源于人类的社会实践，即生产、生活和科研活动的需要，这类问题可称为现实数学问题；数学教学中使用的大量问题，是由于数学学习的需要而编拟派生的，这类问题可称为学校数学问题。 美国芝加哥大学心理学教授J.W.盖泽尔把“问题”分为三类，即呈现型、发现型和创造型。呈现型问题指的是由教师或教科书给定的问题，其思路和答案都是现成的，直接体现了教师和教材编写者的思想。相比之下，“发现型”和“创造型”问题更具有创造价值。这两类问题的共同特点是:（1）从问题产生过程来看，是学生在学习过程中思考探索的结果，具有一定的自主性；（2）从问题解决的过程看，由于具有强烈的内驱力，学生通常会孜孜以求，探究解决，表现出执著的追求性；（3）从问题的本身特点看，它不是在老师统一要求下的产物，具有一定的随机性，且更具有个性，是个性思维的表现；（4）从问题的答案来看，具有一定的开放性。二者的区别在于，创造性问题是人们从未提出过的问题；而发现类问题的答案大多是已知的，但从学生认知个性来说，却是独立的发现和探索。 前苏联学者奥加涅相认为，一个数学问题系统由条件、结论、求解过程及解题依据四个要素组成，按照题目中已知要素的多少，数学题可分为四种类型：标准性题（已知四个要素），训练性题（已知三个要素），探索性题（已知二个要素），问题性题（已知一个要素）。通常把四个要索中至多只有一个是未知的问题称为封闭型题，而把四个要素中有二个或三个是未知的问题称为是开放型题。衡量数学问题的开放性或思维发散程度并不完全取决于问题要素未知个数的量的方面，而要看到问题要素的质的方面。封闭型题的质的表现是:有完备的条件和固定的答案，而开放型题的质的表现是条件不完备或答案不固定，要求学习者能动态地分析可能的条件与面临的问题之间复杂的关系，要求学习者参加问题的建构与引伸，因而不仅需要逻辑思维，还常常需要形象思维与直觉思维的积极参与。 例如，在△ABC 中，三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果？这是一个结论开放的问题，由三边成等差数列，联系三角形的有关定理、公式，如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如sin A +sin C =2sin B ，等等。通过对这个问题的探讨，不仅复习巩固了所学知识，将多学科的许多不同思想方法联系到了一起，而且充分表现了思维的多向性、灵活性和创造性。
又如：在直三棱柱中，
再如： 2、问题的特征 无论对问题作出怎样的分类，一般而言，作为学校教学中的问题，问题应具有如下几个特征： （1）问题的矛盾性 美国科学哲学家斯蒂芬·图尔敏认为，当认知主体不能合理解释某种自然现象时，也就提出了一个问题；当代著名的科学哲学家卡尔·波普尔认为，问题就是“背景知识中固有的预期与其所提出的观察或某种假说等新发现之间的矛盾”。并且直接描述：“问题就是‘矛盾’，就是‘不一致’”。蒂芬·图尔敏所指的“不能合理解释”其实就隐含了“矛盾”。发现冲突的过程就是发现疑问的过程，正是“矛盾”的出现才使“问题”的提出有了可能。在人类个体的成长历程中，当个体的认知世界无法匹配或解释外界环境提供的现实世界中的信息时，就出现了“冲突”，即产生了“矛盾”，出现了“问题”，使个体处于一段时期内的逆境之中。正是逆境中的“问题”促进着个体的成长；在学习过程中，当认知主体与外界之间产生“不平衡”、“不协调”即出现了“矛盾”时，让认知主体感觉到“问题”的存在，才有提出问题的可能性。 （2）问题的相对性 我国学者魏发辰认为[2]，区分问题与非问题的划界标准，是以认知主体的知识储备为参照系，将问题所反映的客观内容与之相对照。若是未知，则为问题；若是已知，就是非问题。因此，能否构成一个问题，要相对于认知主体而言。主体所拥有的知识储备决定了问题内涵的指向预设。不同主体所具备的知识储备的质和量不同，指向预设也就不同，那么针对某个客观内容而言所形成的问题也就不同，甚至根本不构成问题。进言之，同一个问题即使是相对于同一个主体，在不同时间和不同环境中也要有所区分。问题可能相对于“此时”的主体而言是问题，而相对于“彼时”的主体可能就不再是问题了。 （3）问题的体验性 英国著名的科学哲学家波兰尼（M.Polanyi）在其“解决问题”一文中曾经认为:“一个问题或发现本身是没有涵义的，只有当它使某人疑惑或焦虑时，才成为一个问题；发现也只有当它使某人从一个问题的负担中解脱出来时，才成为一个发现。”并概括地指出：“一个问题，就是一个智力上的愿望”。在他看来，“问题”本身包含两个要素：一个是未知，另一个是欲知，二者缺一不可。尤其是从教学的角度来看，这也就意味着仅让学生产生问题还是不够的，问题未必就一定能引起学生的求知欲。要让问题成为学生求知的强大动力，还必须让求知者从问题中感受到困惑。这是因为，困惑并不简单地等同于问题，困惑还是人的一种体验，一种心理状态。人对某事或某物感到困惑时，心理上必然会产生焦虑、不安、烦恼等情绪。感到困惑必有问题，但有问题不一定就困惑。 （4）问题的动态性 问题在不同过程中具有不同的状态。若用发展的眼光看，问题是一个历时性的、动态的概念。问题随着认知主体的认知能力的变化而变化。认知主体所要解决的问题也不同于解决过程所提出和解决的问题。在主体认知世界中的问题所包含的指向预设与解答预设的范畴域，往往会伴随其问题解决的进程而不断地发生变化，即原来的问题会发展成新的问题，问题在提出、解决的过程中交互的减弱、消失又生成。问题的动态性生动地体现了辩证发展的观点。而解决问题的目标就是通过主体认知能力的发展实现解释疑问的理想。 二、什么是问题解决 1、问题解决的基本含义 在数学教育领域中，明确提出把“问题解决”(Problem Solving)作为“学校数学的核心”的是美国数学教师协会(NCTM)于1980年4月公布的文件《关于行动的议程》，该文件指出:“80 年代的数学大纲，应该在各年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去”，“数学课程应当围绕问题解决来组织”，“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”。英国1982年的Cockcroft 报告认为，问题解决是那种把数学用之于各种情况的能力，并针对当时英国教育界的情况，呼吁教师要把“问题解决”的活动形式看作教或学的类型，看作课程论的重要组成部分，而不应当将其看成课程附加的东西。由此在世界各国掀起了以数学问题解决为主题的一系列数学教育改革和研究的热潮。 那么，什么是“问题解决”呢？ 1988年发表的美国《21世纪的数学基础》认为，问题解决是把前面学到的知识用到新的和不熟悉的情境中的过程，而学习数学的主要目的在于问题解决。《教育大词典》对问题解决是这样定义的：解决问题( problem solving )，亦称“问题解决”，泛指机体获得对问题情境的适当反应的过程。 作为人类的一种普遍活动，对问题解决比较宽泛的一种定义是：“人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动”。 从认知心理学观点看，一个问题可分为任务领域和空间领域两个方面。前者反映问题的客观存在，后者则是对问题的主观理解。因此，可以对问题解决这样进行微观描述：问题解决是从最初的任务领域出发，经历不同的问题状态(不同的子问题)，运用一定的策略达到对问题的个人表征，形成和建构起个人的问题空间领域，最终消除疑难和困惑，获得问题的答案。 需要指出的是，这里所谓的“问题解决”，比传统意义上的“解题”有了很大的发展。传统意义的“解题”注重结果、注重答案，而现代意义的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法。一个学生拿到一道习题之后，通过翻看习题集的答案得到了解决，当然这个答案是正确的，但能否认为他解决了问题呢？从“问题解决”的观点看来，回答是否定的。同样，一个教师讲解一条几何定理时，没有任何知识的发生过程，小黑板一挂，辅助线作好了，证明和盘托出了，也是一个不成功的“解题”。 2、问题解决的一般过程 研究者们从不同的角度、用不同的方法探索解决问题的过程，提出了各不相同的模式。但比较分析会发现，这些模式实际上经历了大致相似的过程。 （1）明确问题 从完整的问题解决过程来看，发现和明确问题是其首要环节。只有存在问题时，人们才有可能产生解决问题的认知活动。同一个事件或情境能否成为问题，这是因人而异的。能否发现问题，这与个体的活动积极性、已有的知识经验等有关。 （2）理解问题 理解问题就是把握问题的性质和关键信息，摒弃无关因素，并在头脑中形成有关问题的初步印象，即形成问题的表征。对问题的表征既包括问题的表面特征，也包括其深层特征，后者是解决问题的关键。在表征问题时，人们经常借助于外在的具体的形式，如画图表、路线图等，使表征更明确、直观。 （3）提出假设 提出假设就是提出解决问题的可能途径与方案，选择恰当的解决问题的操作步骤。常用的方式主要有两种：算法式和启发式。算法式即把解决问题的所有可能的方案都列举出来，逐一尝试。此种方式虽然可以保证解决问题，但效率不高。启发式即依据经验或直觉选择解法。它可以迅速地解决问题，但不排除失败的可能。 （4）检验假设 检验假设就是通过一定的方法来确定假设是否合乎实际、是否符合科学原理。检验假设的方法有两种：一是直接检验，即通过实践来检验，通过问题解决的结果来检验；二是间接检验，即通过推论来淘汰错误的假设，保留并选择合理的、最佳的假设。 3、问题解决的关键环节 问题解决的关键，是对问题进行恰当的表征，通常可以分解为两小步： （1）问题的表层理解。指解题者逐字逐句读懂描述问题的每一个句子，读懂的标志是他能用自己的话重述问题的条件。例如，解决如下数学问题：地砖按每块0.72元出售。地砖每边长30厘米。用这种地砖铺满长7.2米宽5.4米的房间，需花多少钱购买地砖？对其进行正确的心理表征，需要两种知识：一是语词知识，如果解题者不知道“地砖”、“出售”、“购买”等词语，他就不可能读懂题意；二是事实性知识，学生必须知道边长为30厘米的地砖是正方形，也必须知道1米=100厘米。 （2）问题的深层理解。指在问题表层理解的基础上，进一步识别问题类型，以及区分问题中的有关信息与无关信息。问题深层理解需要问题图式的知识。图式是人脑对事物或事件的一般特征的概括，贮存于人的长时记忆中。如人脑中贮存了“房子”的图式：“房子有平的或三角形的屋顶；有墙；用砖头或木头建成等”，当别人提到房子或呈现房子的部分特征时，他能立即识别房子与非房子。在解数学题时，识别题型也像识别房子一样，学生头脑中必须贮存有关题型的图式，才能迅速识别题型。一旦识别了题型，他便能区分问题中的有关信息与无关信息，甚至能补充题目中缺乏的必要信息。 4、问题解决与练习性解题 无论对于问题解决持怎样的观点，但大都认可这样一个事实，即数学问题解决中的问题属于非常规性的，因此，解决过程也应采用新的方法与途径。这就使得数学问题解决有别于练习性的解题，也即数学问题解决应处于对数学知识的巩固与应用的练习性水平之上。 学生学习了某一数学知识之后，一定要通过做练习题、习题来巩固所学的知识。这种数学练习一般是对新知识学习的巩固和用所学知识直接应用的练习。例如，学生学习了三角形全等的判定定理后，去证明那些利用证明两个三角形全等而得到对应边或对应角相等的证明题，这些都是练习性的解题。当然，练习性的水平也有高低之分。例如，数学教科书中有练习题、习题、复习题之分。一般地说，练习题水平最低，习题次之，复习题水平最高。 而数学问题解决水平要高于练习性的解题，主要表现为如下的特点： （1）问题解决中的问题是学习者从未遇到过的新的问题。这里，所谓从未遇见过的新问题，主要指对学习者本人而言。 （2）问题解决的方法与途径是新的。至少是对学习者已知的解题方法、途径的重新组合。学习者已知的解题方法、途径只能是问题解决的方法、途径的原始素材，它必须通过复杂的加工后才能得以使用。 （3）问题一旦得到解决，学生就可以通过问题解决的过程学到了新的方法、途径。这些新的方法、途径对今后学习和对其它的问题解决则成为已知的方法、途径。 正是由于上述特点，所以说问题解决是具有相对性的。对于学习者来说，凡是具有以上特点的问题解决过程，才被认为是问题解决性的，否则都是练习性的。 三、问题解决的心理机制 问题解决是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动或心理过程。关于“问题解决”的心理机制，从“教育心理学之父”桑代克起，心理学家们就不断地探讨问题解决机制。他们从不同的角度对“问题解决”进行解释：行为主义心理学家强调解决问题的过程是尝试错误而最后成功的过程；格式塔心理学派认为问题解决是“顿悟”的结果；而信息加工心理学家则视其为搜索算子的过程，如纽威尔和西蒙认为问题解决就是在问题空间进行搜索，以找到一条从问题的“初始状态”转化到“目标状态”的通路。 1、试误说 试误模式，就是通过不断地尝试错误，最终获得问题解决的成功的模式。 试误模式的问题解决思想与理论可以追溯到爱德华·桑代克(Edward L．Thorndike)。他是行为主义的心理学家。他的著名的试误实验是：把一只饥饿的猫放在一个箱子里，箱子设一开关，只要猫能碰上开关，就可跑出箱子，吃到箱外的食物。开始实验时，猫总乱抓一气，直到碰到开关，跑出去。经过多次实验，猫碰上开关的时间越来越短。这说明，猫在不断地试误中，获得成功。这个实验实际上是刺激与反应的联结的过程。行为主义学派用尝试与错误的联结来说明解决问题过程的刺激与反应的联结的学习机理。 试误式的问题解决，实际上是以一种盲目的探索活动作为其特征的。在数学问题解决中，试误式是经常存在的现象。例如，学生在解决一道几何证明题时，需要添辅助线。开始，他盲目地添一条，错一条；又添一条，又错一条，一次次地添(尝试)，一次次地错(误)，最后终于添出正确的辅助线来，题目也得到了证明。 2、顿悟说 顿悟式的问题解决，就是经过长期的思考之后，在某一特定条件或环境的触发下，突然醒悟，发现问题解决的途径。 波利亚在《数学的发现》第二卷中介绍了苛勒的经典实验：笼子里有一头黑猩猩，它饿了。笼子外面地上有一只香蕉，黑猩猩可以从笼子的栏杆中间伸出它的前肢，可是怎么也够不着那只香蕉。黑猩猩为了够到那只香蕉不知费了多少力气，但毫无结果，于是只好坐在那里。而在笼子外面的地上有一根棍子，它伸出前肢就可以拿到，但是它对棍子好像毫不在意。突然，黑猩猩爬起来，抓住棍子，笨拙地拨动那只香蕉，直至拨到它可以抓到的地方，然后它抓着香蕉便大吃起来。 波利亚说：“黑猩猩解决了两个问题：A．抓住了香蕉，B．抓住了棍子。”在这个实验中，问题的目标是香蕉，即是黑猩猩要解决的问题。但黑猩猩要解决问题，还要借助于辅助手段——木棍。换句话说，木棍是解决吃香蕉的辅助问题，即子问题。黑猩猩解决吃香蕉的问题是顿悟式的解决方法。 顿悟式问题解决在学生的数学学习中也时有发生。例如，当一个学生对一个新的难题经过长期思考而未能解出时，他只好搁置一旁。但由于某一条件或情境的触发，他突然想出了解题方法、途径，这就是问题解决的顿悟式。 3、杜威的五阶段论 美国心理学家杜威提出了关于问题解决过程的五阶段理论。他认为，解决问题一般包括五个步骤： 第一，疑难。问题解决者开始感受到问题的存在，即问题解决者在主观上意识到他所面临的问题，产生一种认知上的困惑感、挫折感或对困难的意识状态。 第二，诊断。确定问题和界说问题，即从问题情境中识别出问题，考虑它和其他问题之间的各种关系，明确问题的已知条件、目标及要填补的问题空间。 第三，假设。在分析问题空间的墓础上，搜集有关资料，使问题情境中的命题与其认知结构联系起来，激活有关的知识背景观念和先前所获得的解决问题的方法，从而提出各种解决问题的可行方案，形成假设。 第四，检验与评价。对解决问题的各种假设进行检验，接受或拒绝试探性的假设，并对问题再做明确的阐述，从可能的解答中选择出最佳解决方案。 第五，结论。将成功的答案组合到认知结构中去，并应用于同类问题的解决。 4、现代认知理论的观点 现代认知心理学认为，问题解决是从问题的起始状态出发，经过一系列有目的、有指向的认知操作，达到目标状态的过程。从信息加工观点出发，将问题解决过程看作是对问题空间的搜索过程。任何一个问题总是要包含给定条件和目标，即提出一定的任务领域和范围。人要解决这个问题，必须先要理解这个问题，对它进行表征。所谓表征问题，就是问题解决者在头脑中以某种理解来呈现问题，使问题的任务领域转化为问题空间。问题空间是问题解决的一个基本范畴，是个体对一个问题所达到的全部认知状态。它包括三个方面，一是任务的初始状态，即问题所给定的条件；二是任务的目标状态，即问题最终要达到的目标；三是完成任务的算子，即从初始状态向目标状态转化的操作。 以一元二次方程的求解的题目为例，这道方程题的代数式是问题的起始状态，求出一切适合该方程的x的值是问题的目标状态。在这道方程题的求解过程中，要运用一系列的操作和限定（如运算法则等），这些操作可称为“算子”。人在解题过程中，要利用各种算子来改变问题的起始状态，经过各种中间状态，逐步达到目标状态，从而解决问题。人在问题解决的过程中，所达到的全部这些状态（包括算子在内）称为问题空间或状态空间。将问题的任务领域转化为人的问题空间，就实现了对问题的表征和理解，而问题的解决就是应用算子来改变问题的起始状态，使之转变为目标状态。换句话说，就是对问题空间的搜索，以找到一条从问题的起始状态达到问题的目标状态的道路。 四、数学建模与问题解决 数学建模就是把现实事物用数学模型来描述的简称。现实事物的解决，要利用数学。把现实中提出的问题用数学来解决，就要将现实问题变成一种简化了的、抽象的数学模型，然后用数学的方法去解决现实问题的数学模型，最后通过数学模型的解决而解决了现实提出的问题。
图2 在图2中，通过建模，把现实问题变成数学模型，即数学问题。通过对数学模型的解决，从而达到实际问题解决的目的。这就是建模在数学问题解决中的地位。换言之，要用数学来解决现实中的问题，就要先把现实问题“建模”成数学问题。 近年来，数学建模在数学教育中已开始被人重视。1985年以来，美国在大学生中开展数学建模竞赛。1992年我国也开展了大学生数学建模竞赛。1993年在北京开展了中学生数学建模竞赛。 实际上，在中学数学学习中，来自实际中的问题抽象成数学问题的过程就是建模。例如，在墙边围地：以墙为一边，用篱笆围成一个长方形的莱地，篱笆长为定值l。问这块地的长和宽各是多少时，所围面积最大？求出最大的面积(图3)。
图3 要求最大面积时的长和宽，就是求x为何值时，y最大。这实际上就是建立起二次函数的最大值问题。 建模问题有难有易。中学生建模问题一般属于较容易的问题。可以说，建模是数学解决实际问题的基础。再看一个稍难点的建模例子： 用块石头落入井内来测井深。 这是个实际问题。 建模：首先，必须测出石头开始下落到听见回声之间的时间T。 其次，已知声音速度为C，自由落体加速度为g。 再设井深为d，又设石头下落时间为t1，声音上传时间为t2，则
解得
用这个数学模型就可以求出井深。 建立数学模型解决实际问题的过程，通常包括以下几个步骤： （1）分析问题背景，寻找数学联系。通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们与哪些数学知识有联系，以便建立有关的数学模型，使实际问题数学化。 （2）建立数学模型。在分析的基础上，将实际问题符号化并确定其中的关系，进而写出由这些符号和关系所确定的数学联系，用具体的代数式、函数式、方程式、不等式或相关的图形、图表等把这些数学联系确定下来，就形成了数学模型。 （3）求解数学问题。根据数学模型的特征，可采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解。 （4）检验。将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验，看它是否与实际问题的情形相吻合，从而决定是否要修改模型或另辟途径。 通常所说的数学化问题，就是用数学方法将一个表面上的非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题，其本质是建立合理的数学模型。这就要求学生能读懂题目的条件和要求，将所学的知识和方法灵活应用于陌生的情境，舍弃问题中与数学无关的非本质因素，抽取出涉及问题本质的数学结构，建立适当的数学模型，创造性地解题。 从数学建模层次性角度来看高考中数学应用问题的考查，主要分为两个层次:其一是数学模型在问题情境中已经给出，利用所给的数学模型对问题进行定性、定量分析而求解，2002年以前的高考数学应用问题大多为此类；其一是数学模型在问题情境中没有给出，需要解题者自己探索出相应的数学模型。在后一种情况里，对建模能力又可分为两个层次:一是对问题情境已作了加工提炼，忽略了次要因素，保留下来的诸因素关系比较清楚的实际问题，这类问题可以说已经做了初步的“数学化”加工，还需要解题者进一步“数学化”，成为一个数学问题，2003年起此类数学应用问题在高考中开始出现；一是问题完全按照原始情境，没有做任何“数学化”的加工，完全需要解题者自己进行分析抽象提炼出数学模型，再对数学模型进行求解。 五、基于问题解决的教学 所谓问题解决教学，是由教师精心设计“问题链”或问题学习单元，以问题贯穿整个教学过程，使学生在设问和释问的过程中，萌生自主学习的动机和欲望，领会解决问题的思路和方法，从而掌握知识和技能，发展解决问题的能力。 1、问题解决教学的理论基础 问题教学理论的渊源，可以追溯到古希腊哲学家苏格拉底的对话式辩论和美国哲学家杜威的“通过解决问题进行学习”的思想。但真正意义上的问题教学理论，是20世纪60年代由前苏联教育家马赫穆托夫创立的。 马赫穆托夫指出:“……唯有问题才与动力存在联系。思维中的矛盾不以任务形式而以问题形式呈现，它具有问题情境的条件下才会被感受为主观上的疑难。因此问题式学习的动力只能是学习性问题……”[3] 问题性思维理论是问题教学的心理学基础。马氏认为，人常常处于活动条件与其要求之间发生矛盾的境地，即人需要解决某个问题，但现有的条件没有适宜的解决问题的办法，已有经验中也没有现成的解决方案。要摆脱这种处境，人就必须采取以前未曾有过、新的解决策略，亦即进行创造性活动。这种情境被称为“问题情境”，而解决问题的心理过程就叫做“创造性思维”或“能产型思维”。 问题性教学提倡把教学称为问题式的，并非全部教材都由学生通过独立解决问题和发现新概念来掌握，有教师的讲解，有学生的复现活动，只不过教学过程的组织方式是以问题性原则为基础的，而系统的解决学习性问题乃是问题性教学的突出特征。 2、问题解决教学模式 狭义的问题解决教学，主要是针对现实问题和劣构问题而言的，在国外也被称为抛锚式教学或基于问题的学习模式(Problem-Based Learning,简称PBL)，是近年来受到广泛重视的一种教学模式。它强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学习者合作解决真正的问题，来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，并形成自主学习的能力。确定这类问题情境被形象地比喻为“抛锚”，因为一旦这类事件或问题被确定了，整个教学内容和教学进程也就被确定了。 建构主义理论认为，学习者要想完成对所学知识的意义建构，即达到对该知识所反映事物的性质、规律以及该事物与其它事物之间联系的深刻理解，最好的办法是让学习者到问题情境中去感受、去体验，而不是仅仅聆听别人关于这种经验的介绍和讲解。有研究表明，这样的教学比传统的技能操练式的教学，更能使学生对科学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且对科学形成更为积极的兴趣、态度和信念。 这里涉及的“问题”，通常不是常规问题，它往往具有以下特点： （1）问题都镶嵌在一定的情境当中，学生首先要进行辨别； （2）问题中含有许多未知的、模糊的成分； （3）问题没有现成的解决办法，必须进行探究，才能发现解决问题的方案； （4）问题解决涉及到一系列分析问题、解决问题的知识和技能。 一般的“问题解决”教学模式，通常由这样几个环节组成： （1）创设情境：使学习能在和现实情况基本一致或相类似的情境中发生。 （2）确定问题：选择出与当前学习主题密切相关的事件或问题，选出的事件或问题就是“锚”，这一环节的作用就是“抛锚”。 （3）自主学习：不是由教师直接告诉学生应当如何去解决面临的问题，而是由教师向学生提供解决该问题的有关线索，并要特别注意发展学生的“自主学习”能力。 （4）协作学习：讨论、交流，通过不同观点的交锋，补充、修正、加深每个学生对当前问题的理解。 （5）效果评价：对这种教学效果的评价往往不需要进行独立于教学过程的专门测验，只需在学习过程中随时观察并记录学生的表现即可。
参考文献 [1]张奇.学习理论.湖北教育出版社.1999. [2]魏发辰.关于问题哲学的基本问题探讨，《哲学研究》1989年12期 [3]毕淑芝,王义高.当代外国教育思想研究[M].北京:人民教育出版社，1993.136.
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是两个不同的平面，
