第二节  理解性教学思想及其数学案例解读

《中学数学教学大纲》中规定：数学理解就是对概念和规律(定律、定理、公式、法则等)达到理性认识，不仅能够说出要领和规律是什么，而且能够知道它是怎么样得出来的，它和其他概念和规律之间的关系，有什么用途。

《普通高中数学课程标准》在教学建议中指出：“教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能”；评价建议中指出：“评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧”；在教材编写建议中谈到：“教材编写要体现相关内容的联系，帮助学生全面理解和认识数学。”

《全日制义务教育数学课程标准》也指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。”

一、理解的内涵

1、行为主义的理解观

行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结。在行为主义看来，刺激与反应的联结受到练习和使用的次数增多而变得越来越强，反之，变得越弱。因而，行为主义学习观强调技能训练，实现技能由“自觉地执行”向“自动地执行”的转化，于是，个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题。行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入探讨。

2、认知主义的理解观

格式塔学派认为，“理解就是“顿悟”，是头脑中知觉“完形”的出现，理解就是对事物间的关系突然贯通与领悟。奥苏伯尔认为，理解就是将新信息纳人原有认知结构，新旧知识发生意义同化的过程。

现代认知心理学认为，理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程。Mayer 给出了学习者的理解过程模式，如图1所示。

在这一模式中，个体的理解分为3 个阶段：第一阶段，各种信息经过注意的“过滤”，部分信息经过感觉登记进入短时记忆。第二阶段是编码阶段，进入短时记忆的信息没有得到复述和加工的部分很快消退，得到及时复述和进一步加工的信息进入长时记忆。第三阶段是表征的重新建构和整合阶段。当信息进入长时记忆后，一方面，使已有图式的一些节点和相应的区域被激活，从而使已经得到编码的信息获得了心理意义；另一方面，新信息的纳入又使已有的图式发生相应的变化，形成新的知识网络和认知结构。

3、情境认知理论的理解观

学习理论在90年代后期从强调个体思维者和其孤立心智的认知建构理论转向强调认知和意义的社会性本质，并进而转向情境理论，这一转向更加丰富了对理解的认识。情境观的核心要点是：意义不是与实践和情境脉络相分离的，意义正是在实践和情境脉络中加以协商的。从这一意义上说，概念、定理、法则的学习必须既是情境性的，又是通过学习者的真实活动和运用而得以不断发展的。也就是说，概念、法则的意义是依托于一定的情境的，在该特定情境中获得的概念、法则要比所谓的一般性概念、法则更有力、更有用、更具理解力，在这样的情境中所进行的学习活动，除了了解了某些确定的规则外，更重要的是了解了使用这些规则的场合和条件。

如果站在这一高度，就可以对现今中学乃至大学的微积分教学做出较为深刻的分析与批判。应当说，只教授微积分运算规则而脱离其产生的深远背景，剥夺学生参与真实活动与理解生活实际的机会，那么留给学生的只能是惰性的、处于消极状态的知识。这直接造成学生只会解那些书本上正规的、良构性的求极限、求导之类的简单近迁移问题，而对那些需要用到无穷小思想的其他非良构的新情境中的远迁移问题却无从下手，也不能运用极限思想、导数思想去理解其他数学问题的解决方法。其实，此时学生的思维中并没有建立起对“究竟什么是微积分？它是如何得来的？它有什么用处？”等一些情境化指向非常强的问题的深刻理解。

4、什么是数学理解

何谓数学理解？有人认为，能够用自己的语言来叙述一个概念或原理就叫理解；有人认为，能够运用自己所学的知识才叫理解；还有人认为，理解是一系列水平的层次，比如了解、领会、掌握、熟练应用等。不错，这些都能用来描述理解的外在表现或结果，但是却没有真正从心理层面给理解下一个定义。

陈琼等人认为:“数学理解是学习者先认识数学对象的外部表征，构建相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系的动态过程中，打破原有的认识平衡，将数学对象的心理表象进行改造、整理、重组，重新达到新的平衡，以便抽取数学对象的本质特征及规律，从而达到对数学对象的理解。”^[1]

事实上，理解是一个心理过程，是对学习对象或内容积极建构其心理意义的过程。因此，数学理解就是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，建构新知识的个人心理意义，不断完善和发展头脑中的知识网络，并能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和应用。

数学理解是一个建构知识意义的过程，在这个过程中，主要涉及三个方面的工作:首先，必须将原始信息改造成适应个人认知结构特点、便于存入和提取的形式，因此，建立的概念表象对自己越熟悉、越细致、越准确，就越记得住，也越容易提取；其次，新知识结点与其它结点的连线越多，该结点的入口就越多，经由这些通道进入该结点的机会也就增多；再次，在新、旧知识的节点的联系中，本质性的联系越多，准确性越强，这些联系就越紧密和牢固，甚至可以大大减少中间联线的数量，这样，经由其它结点激活该节点的可能性越大，回忆必然越方便越迅速。

二、理解的意义

1、理解有助于个体知识结构的完善

数学理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰富联系。建构主义学习观一再强调^[2]：“要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零碎的、只言片语的。”而希伯特教授则用信息的内部表示和构成方式来描述理解^[3]，“我们认为一个数学的概念、方法或事实是理解了，是指它成了内部网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了，是指它的智力表示成了表示网络的一个部分。理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。”

2、理解能够减轻学习者的记忆负担

记忆的基本单位未必是一个一个单独的“项”，而可能是由若干相关的项组成的组块。由于所说的组块是用单一的符号或语言文字来代表的，因此，这就给信息的记忆带来很大的好处。如果某一个知识点没有得到理解，那么，它就会单独地、孤立地存入记忆中的某个位置，占用一个记忆单位。由于工作记忆容量的有限与狭小，显然这会不利于以后的学习。而当一个知识点获得理解以后，它就会与其它知识有着紧密的联系，并与它们形成知识网络(组块)，网络的结构越强，需要单独记忆的东西就越少，相对而言组块数量就越少。随着理解的不断深入，网络内部可能得到简化，网络与网络之间的外部联系又得以加强，一些网络能进一步组成新的整体，使整体结构获得简化。这样一来，记忆负担得以减轻，信息的提取也更加方便

3、理解有助于知识的灵活迁移和应用

沃特海梅尔曾做过这样的研究^[4]，让两组学生对平行四边行面积公式分别展开理解法学习和死记法学习。前者学生通过三角形割补关系理解了平行四边形可以重新组合成长方形，所以他们很容易内化平行四边形面积公式的内在意义以及平行四边形本身的结构关系。后者学生则要求死记平行四边形面积公式。在随后的迁移测试中，在一些解决平行四边形面积的典型问题上，两者都表现出色。但对一些非常规问题（如竖置的平行四边形、带有不规则割补的平行四边形），前者表现出色，而后者却无能为力。所以，迁移与应用受理解性学习程度的影响，而非仅靠记忆事实和墨守成规。

三、理解的类型

1、工具性理解和关系性理解

R·斯根普1976年明确提出了事物的理解有两种模式:工具性理解和关系性理解^[5]。工具性理解是指一种语义理解，即符号所指代的事物是什么；或者是一种程序性理解，即一个规则所指定的每一个步骤是什么，如何操作。关系性理解则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等。斯根普认为，学生在学习新的数学概念或数学公式时，由于对代表学习对象的符号形式不熟悉，往往把注意力集中于对符号本身含义的描述，而不是它的指代物的意义上，即所从事的是促进“工具性理解”形成的活动。他还指出，关系性理解本身就是一个数学学习目的，有益于学习者解决新的问题，容易记忆，有助于形成高质量的知识结构，所以更多的理解应当定位于“关系性理解”。显然，斯根普关于理解的两种模式，实质是指数学理解的两个不同层面，只有从工具性理解达到关系性理解，个体才能把握数学对象的本质。

    2、数学理解发展的“超回归”模型^[6]

1994年，英国的S·Pirie和加拿大的T·Kieren提出了一个数学理解发展的“超回归”数学理解模型。两位学者认为，数学理解划分为八个水平，即原始认识、产生表象、形成表象、性质认知、形式化、观察评述、构造化和发现创造。这八种水平的关系可以用八个嵌套的圆来表示，并依水平的增高所表示的圆的半径依次增大，前一个圆包含在后一个圆中，逐步拓广。这一组圆描述了理解水平之间的相互关系，以认知的观点强调理解是一个进行中的、动态的、分水平的、非线性的发展，是反反复复的建构组织过程，是以认知观点比较全面认识数学理解的一个理论。这个理论将理解表示为人们知识结构的不断、连续的组织，是一个动态的过程，而不是各种认识的获得。

3、直接性理解、解释性理解、推断性理解和创造性理解

周建华将数学理解划分为直接性理解、解释性理解、推断性理解和创造性理解四个层次^[7]。他认为，直接性理解就是对数学语言、符号的表面理解，即能识别语言描述中的错误或不妥之处，能直接找出肯定的实例或否定的反例。解释性理解就是对数学知识内在联系的理解，即能理解概念的上位、下位、同位关系，深刻理解概念的内涵与外延，能把握公式的来龙去脉，揭示公式的联系等。推断性理解就是在充分理解数学概念、公式、定理等知识的基础上，对有关数学对象作出个人的推断。创造性理解是指摆脱有关材料的束缚，对知识内容提出创造性的理解，它建立在创造性思维能力的基础之上。创造性理解是理解层次的最高级别。

    4、操作性理解、关系性理解和迁移性理解^[8]

（1）操作性理解

操作性理解是指个体懂得数学的某个事实、技能与概念，了解某个原理，懂得某个技能的操作步骤。具体表现为：能够解决知识点较单一的题目，适合于解决操作性强，有固定解题模式的问题，不能体会数学知识中蕴涵的数学方法与数学思想。

（2）关系性理解

关系性理解是指个体对数学的本质与规律及相关联事物的深刻认识，能够在纵横联系中认识数学，表现为能够理顺概念间的上位、下位、同位关系，能够运用所学知识与经验同化新知识，能把握数学知识之间的内在联系，能够运用所学知识解决一些综合性问题。

（3）迁移性理解

迁移性理解是指个体在关系性理解的基础上能够将数学思想、方法以及所学数学知识迁移到别的场合。达到迁移性理解水平的学生能够在解决陌生情境问题时表现出思维的创造性。

5、理解的零层次、常识性层次、逻辑性层次和观念性层次^[9]

（1）零层次

如果把数学教学中那种照本宣科式的教学，在数学学习中只会背诵定义定理、模仿做题，这种实际上的不理解，也叫做理解的一个层次的话，就只能叫做零层次。

（2）常识性层次

常识性层次也叫知识性层次，通常叫做初步理解。相应于传授性的教学和接受性的学习。特征是能重述定义、定理、公式、法则，知道概念的外延和对象的初步分类，能读懂公式的推导和定理的证明过程，解题时能模仿和套用例题的整个解答过程及符号的使用。知识是零散的，有木无林，缺乏系统性。“懂而不会”是这一层次理解的重要特征。

（3）逻辑性层次

逻辑性层次也叫能力性层次，通常叫做深刻理解。相应于讲练结合式的教学和能动手做的学习。对知识能牢固记忆，对概念能分析其定义、内涵、外延；对定理能分析内容、结构，能写出严格完整的证明，至少能深入地理解已有的证明。对知识，能按逻辑顺序，排成网络，有木有林。特征是既懂又会。

（4）观念性层次

观念性层次也叫思想性层次，通常叫做透彻理解。相应于反璞归真的数学教学，不教不学现成的数学，讲究知识的再发现，亲历知识的生长过程，了解概念定义构想和定理公式发现发明的大致过程，以及相关数学思想方法的脉络；对知识是结构性记忆，有运用合情推理的体验和演绎推理的基本功，不仅见木见林，而且对数学有整体的认识，对数学的精神、数学美、数学的价值、数学的文化教育功能，有切身感受。

概言之：不知其然者，全无理解，自然是零层次；“知其然”即结果、结论，相当于第一层次理解；而“知其所以然”即结论之因，即上升到理解第二层次；这还是远远不够的，还要弄明白“何由以知其所以然”，即怎样想到这样定义、这个解法或证明的，这就涉及到思想方法，离不开研究的经历和观念的指导，从而达到了理解的观念性层次。

6、陈述性知识的理解、程序性知识的理解和过程性知识的理解^[10]

    认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征。对知识的理解与知识的表征密切相关。事实上，对一个事物本质的理解，就是指该事物的性质以一定的方式在学习者头脑中呈现并能迅速提取。基于此，我们将理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征。

    根据对数学知识的分类，数学理解应涵盖对陈述性知识、程序性知识及过程性知识的理解等3 个方面。

    （1）对陈述性知识的理解

陈述性知识的理解是从知识的基本单元表征，到形成命题网络，再到获得图式的过程。以“函数”概念为例。函数y=f(x)由自变量、因变量及对应关系3 个部分构成，学习者首先需在对这3个命题表征的基础上形成一个概念自身的命题网络。其次，学习者需要明晰函数概念与其它概念的关系。譬如，从纵向看，函数的上位概念是映射，下位概念是各种特殊函数；从横向看，还需明辨函数与方程、函数与不等式等概念之间的关系，从而形成函数概念与其它概念相互联系的命题网络。再次，学习者还要理解函数与图像的关系，对一些特殊函数的图像，头脑中应有清晰的印象，即对函数概念进行表象表征。经历了上述三个步骤，学习者就会获得函数概念的图式。

对一个陈述性数学知识的理解，是指学习者获得了该对象的图式。

（2）对程序性知识的理解

程序性知识是由陈述性知识转化而来的，是陈述性知识的动态成分。与静态的陈述性知识不同，程序性知识以“产生式”这种动态形式来表征。所谓产生式指一条“条件——行动”规则，即一个产生式总是对某一或某些特定的条件满足时才发生的某种行为的一种程序。当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时，这2 个产生式便建立了相互的联系，若一组产生式有这种相互联系，便形成一个产生式系统，产生式系统代表了人从事某一复杂行为的程序性知识。

对数学知识而言，其二重性表现得尤为突出，这种二重性或称为概念性知识和方法性知识，或称为对象和过程，其本质就是陈述性知识和程序性知识。一个数学概念既包含结果也包含过程，如“加法”：a + b，既代表2 个集合中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并或添加后的结果。又如，“函数”：既代表定义域中的元素按对应法则与值域中元素作对应的过程，又代表特定对应的关系结构。因而，对数学知识的理解就不仅包括对静态的、结果的陈述性知识的理解，而且还包括对动态的程序性知识的理解。

既然程序性数学知识的表征是产生式和产生式系统，因此，程序性数学知识的理解就应解释为学习者对产生式和产生式系统的获得。特别地，我们认为对程序性知识中的策略性知识，其表征是一种双向产生式。双向产生式是一种具有双重功能的指令，它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作，又能指令在不同的情形中选用不同的产生式。换言之，学习者不仅知道“如果⋯那么⋯”，而且还应知道在什么条件下去使用这个“如果⋯那么⋯”。

对程序性数学知识的理解，是指他建立了双向产生式和产生式系统。

（3）对过程性知识的理解

过程性知识与程序知识的共通之处是两者都是动态型知识，但两者的内涵是不同的。过程性知识是指个体对数学知识发生发展过程的体验性知识，当然包含对陈述性知识及程序性知识获得的体验。而程序性知识是进行某项操作活动的程序，它是陈述性知识经过内化而得。

我们将过程性知识的表征分为两个层面，一是关系表征，二是观念表征。关系表征指个体对知识发展过程中知识之间存在某些关系的体悟。具体地说，它相当于陈述性知识的命题网络中连结命题的连线，以及程序性知识的产生式系统中连结产生式的连线。观念表征则是对知识之间发生关系的缘由的体悟，其成分更多的是一种元认知体验。这两种表征因人而异，不同的学习者对同一对象的关系表征的完善性、观念表征的深刻性都可能不同。

对过程性知识的理解，是指学习者形成完善而深刻的关系表征和观念表征。

参考文献：

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[2]张建伟,陈琦.简论建构性学习和教学[J].教育研究,1999,(5):56-57.

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[8]邵梅生.由浅入深说理解[J].基础教育课程,2007,(11)

[9]于新华,杨之.数学理解的层次性及其教学意义[J].数学教育学报,2005,(2)

[10]黄燕玲,喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报,2002,(3)