数学教学理论选讲_福建省莆田市第二中学

教学难点：学生学习兴趣的有效激发，以及对理论的深刻领会。

解决办法：注重典型案例解析，每一专题之后，均配有典型案例分析。

建构主义的创生和发展有两条脉络，一条源于哲学；另一条源于心理学，基本沿着“行为主义→认知主义→建构主义”的轨迹发展。可以说，建构主义是在整合了皮亚杰、维果茨基、布鲁纳、奥苏伯尔、加涅等认知主义理论的核心思想并赋予新的意义而构建起来的，因此它是认知主义的进一步发展。

建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学生在一定情境即社会文化背景下，借助他人（包括教师和伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构方法而获得。因此建构主义学习理论认为，“情境”、“协作”、“会话”和“意义构建”是学习环境的四大要素或属性。

建构主义理论对学习的内涵作出了新的解释，这些解释涉及许多方面，但大凡一种学习理论，都需要回答有关学习的三个基本问题：学习的实质是什么？学习的过程是怎样的？促进学习的条件是什么？下面的模式图可以勾勒出建构主义对这三个问题的回答。

这一模式表明，学习的实质就是学习者的经验系统的变化，也就是说，学习者经过学习，其经验系统得到了重组、转换或者改造。这一学习结果是由于学习者经历了主动建构的过程而导致的。

——主动建构和先前经验。建构主义的最基本理念是：知识是学习者主动建构起来的。就是人在一定的情境之下，面临新事物、新现象、新问题、新信息时，会根据情境中的线索，调动头脑中事先准备好的多方面、多层次的先前经验，来解释这些新信息、解答这些新问题，赋予它们意义。

——学习情境。建构主义认为，知识的意义总是存在于情境之中的。学习总是在一定情境之下进行的，人不能超越具体的情境来获得某种知识。学习时的情境不是一个无关因素，而是有机地卷入了建构活动。

——学习者共同体。建构主义强调，学习总是在一定的社会文化环境下进行的，即使学习者表面上是一个人在独自学习，但他所用的书本、电脑都是人类文化的产物，积淀着人类社会的智慧和经验。知识是社会约定的，存在于一定的社会区域之内。一个人有什么样的观念和认识，总是与他所处的学习者共同体的观念和认识分不开的。个体并不是一个孤立的探究者，他头脑中有什么知识，他有多聪明，实际上还是与周围共同体相互作用的结果。

——学习结果(经验系统的变化)。学习是在先前经验的基础上进行的，学习的结果是先前经验的变化，具体表现为重新组织、转换、改造。这种变化是多方面的，有认知方面的变化，知知识、技能，也有情感方面的变化，如动机、态度、信念、价值观等。

建构主义观的本质是，强调事物的意义不是独立于我们之外而存在的，对事物的理解更主要取决于学习者的内部建构。建构主义学习观的基本点在于，知识是学习者在一定的情境下，借助他人（教师、学习伙伴等）的帮助，利用必要的学习材料，通过个体自己建构的方式而获得。

在建构主义基本观下，建构主义有较多的流派，其中影响较大的为：激进（极端）建构主义、社会建构主义、信息加工建构主义。

激进建构主义的基本理念是：知识不是对客观事物本来面目的反映，知识只是适应和体现主体的经验，知识不能传递，只能由个体建构。

它的极端性在于强调个体必须独立建构自己的经验世界，强调个体所有的知识都是在个体与经验世界的活动中建构起来的，把内部建构的作用推到极至的地位。它虽然并不排斥教师的帮助，但认为教师的作用是次要的。所以激进建构主义比较忽视学习的社会性。

社会建构主义的要义是，把学习看成个体内部建构与外部建构相互作用的过程。社会建构主义虽然也强调个体建构，但认为社会对个体的学习发展所起到的支持和促进作用必不可少，这是与激进建构主义的最重要区别之所在。

因此与激进建构主义轻视教师的作用相比，社会建构主义更重视教师的作用；与激进建构主义认为知识不是对客观事物本来面目的反映相比，社会建构主义强调个体建构要与数学知识的客观意义趋于一致。

信息加工建构主义在信息加工理论基础上发展起来。它坚持信息加工的基本范式，但承认“知识由个体建构而成”的这一建构主义基本原则，认为学习不仅是人对外部信息的加工，而且意味着外来信息与已有知识之间存在双向的相互作用，新经验意义的获得要以原有的知识经验为基础，超越所给的信息，而原有经验又会在此过程中被调整或改造。信息加工建构主义被认为是“轻微的建构主义”。

当前教学中采用的建构主义数学学习，基本属于这个理论范畴，首先是接受外部信息，其后在认知加工过程中体现建构主义思想，即在主客体相互作用的过程中实现个体的内部建构。信息加工建构主义与普通信息加工理论的本质差异在于，强调内部对外部信息的加工要超越所给的信息。因而，它并不排斥教师的教，重要的是内部建构的意义要超越教师的教。

不同建构主义差异的基本点，可以概括为“外部输入—内部生成”和“个体建构—社会建构”两个维度上的分歧。

在“外部输入—内部生成”的维度上，不同的建构主义表现出知识是外部输入还是内部生成的倾向性程度的差异。外部输入的倾向性越大，学习过程中接受的成分越多；内部生成的倾向性越大，学习过程中建构的成分越多。

在“个体建构—社会建构”的维度上，不同建构主义反映出在“个体”和“社会”两个方面倾向性程度的差异。这主要指“个体的建构”、“个体间的建构”、“社会性建构”之间的差异，实际上目前不同的建构观在这一维度上的分歧正在缩小。

建构主义的各个流派尽管存在着分歧，但在基本方面存在很多共同点，下面的观点是不同建构主义共性的综合。

建构主义认为，知识并不是对现实的准确表征，而只是一种解释和假设。学习者根据自己的经验背景，以自己的方式建构对知识的理解，不同的人看到的是事物的不同方面，因此对于世界的理解和赋予意义由每个人自己决定，而不存在惟一标准的理解。这种思想的先进性在于，课本知识只是一种假设而解释世界的“模板”，在解决问题时，并非能拿来即用，一用就灵，却是要按照具体情况进行再创造。因而，知识不能灌输、强加，要靠学生以自己的经验、信念对新知识分析、检验和批判。

建构主义认为，学习活动不应是由教师向学生传递知识，而是学生建构自己的知识的过程，同时把社会性的互动作用看作促进学习的源泉。“建构”包含两方面的含义：a.对新信息的理解是通过运用已有经验，超越所提供的新信息而建构成的；b.从记忆系统中所提取的信息本身也要按具体情况进行建构，而不仅仅是提取。

因此，建构一方面是对新信息意义的建构，另一方面又包含对原有经验的改造和重组，即建构是双向的建构过程。一方面，新经验要获得意义需要以原来的经验为基础；另一方面，新经验的进入又会使原有的经验发生一定的改变，使它得到丰富、调整或改造。

这里必须要澄清的是，新信息（不管以什么方式）是外部提供的，而新信息的意义是内部建构的。由于建构的意义要超越所给的信息，因此这个超越的部分只能是个体主动建构的信息。至于这个“超越的部分”是如何建构起来的，每个个体可以有自己的方式。“学习者不是被动地吸收信息，而是主动地建构信息”的真正含义正在于此。如果不提供任何信息，而要让学生建构出所有的新信息是不可能的。但是外部提供的信息只是产生这种新信息的必要条件和基础，而“超越的部分”才是新信息的核心和本质。所谓“被动吸收信息”，是指由教师直接提供这个“超越的部分”，学生只是吸收，而无须去建构它。

建构主义认为，知识不是客观的东西，而是主体的经验、解释和假设。为了使大家认识到这一点，我们先反省一下自己头脑中的知识观。

在学习和教学行为中，我们都隐含着一套对知识的理解。例如，当我们教授科学知识时，会对学生说“牛顿发现了万有引力定律”。在这里，我们用“发现”而不是“发明”。我们说“牛顿发现了什么定律”，言下之意，牛顿的理论就如同石油、煤矿、金矿、银矿一样隐藏在世界某处，在牛顿之前是客观存在着的，后来被牛顿找到而已。这意味着，我们在无形之中将牛顿的理论当作一个东西来看待。

为什么在教学中常常把知识当作无形的东西看待呢？那是由我们头脑中的一般认识论观念造成的。我们坚信世界是客观存在的。例如，我们面前的桌子是客观存在着的，不管我们在不在屋内，它都在这里。也就是说，这张桌子的存在是客观的、确定的。知识是什么？按照辩证唯物主义认识论，知识是人脑对客观世界的属性及其联系的能动反映。但是，我们在实际工作中，经常把“能动”两个字漏掉了，换成了“直接、被动、简单”。知识于是就变成了人脑对客观世界的被动、简单而直接的反映。人脑就好像一部照相机或一面镜子，有关桌子的知识，不过是人脑中映射的桌子的底片、镜像而已。由于外在的桌子是客观存在的，有关桌子的底片或镜像也是客观存在的，因而也是确定的、绝对的。根据这一隐喻来看前面所举牛顿的例子，牛顿的理论是一个客观的、确定的、绝对的东西。这实际上不过是一种形而上学的机械反映论。

建构主义理论与这种机械的反映论是相对立的。建构主义认为，知识不是客观存在的被人发现的东西，而是人在实践活动中面对新事物、新现象、新信息、新问题所作出的暂定性的解释和假设而已。牛顿的理论并不是事先存在着的东西，而是由牛顿通过实践和认识活动而发明出来的假设和解释而已，具有一定的客观性、相对性、暂定性和实用性。尤其是随着科学技术的迅猛发展，人们对同一个事物、现象或问题，存在各种不同的看法，到底哪个看法代表客观的东西？都不是。它们都不过是一种暂定性的解释、假设而已。为了形象地说明这一点，我们来看一个生活实例。

某人肚子痛，上医院看病。如果他找的是西医大夫，会说这是胃炎，是因为胃里有病菌。治疗的方法是吃消炎药，杀菌、消炎，这样治疗肚子就不痛了。如果他找的是中医大夫，他会说这是肝脾不和，治疗的方式是吃草药，使肝脾调和，肚子就不痛了。这里，肚子痛的现象和问题是客观存在的，但是，对这一现象的解释、对这一问题的解决方法是客观存在的吗？不是的!是人主观创造出来的。随着人们在这一方面的研究和实践的发展，人们还可能想出更多的解释、假设和方法来。

人类社会的公众知识如此，个体知识也是如此。公众知识在每个学习者头脑中的意义不是客观的，而是每个学习者通过主动参与认识活动而主观创造出来的，是每个学习者的一种主观经验、解释、假设。人脑不是电脑，同样一段程序在不同电脑中运行的结果可能是一致的，但同样一段以语言文字为载体的公众知识在不同个体的头脑中意义却是不一样的。总之，无论社会公众知识，还是个体知识，都不是客观的东西，而是人主观创造出来的暂定性的解释、假设。这种知识观对学习和教学都带来了巨大的冲击力。

建构主义认为，知识不是东西，那么，学习就不是被动地接受东西，而是主动地生成自己的经验、解释、假设。如果按照以往的知识观，知识是无形的、客观的东西，那么，学习就很自然是接受东西。因为知识既然是人类社会发现的东西，是绝对的、确定的，学生就只能接受这些绝对正确的东西了。因此，学生的任务是往自己的头脑中复制信息、印入信息，学生在学校的工作就是将课本知识“拿过来、装进去、存起来、提出来”。具体来说，学生先是感知、理解信息，再将信息存储在大脑中，然后在课堂练习或者考试中将信息提取出来。学生不管怎么想，最后都要同课本上说的一样，因为课本上的知识是人类社会发现的东西，是客观的、绝对的、确定的，因而是毋庸置疑的。这种知识观、学习观对学生的创造性是十分有害的。

建构主义认为，学习是学习者主动建构知识的意义，生成自己的经验、解释、假设。个体学习者也生活在世界上，也有着自己的实践活动，对生活实践中所体验到的新事物、新现象、新问题、新信息也在作出自己的解释、假设。幼儿园的儿童也对于“月亮为什么会走”的问题，自己作出这样的解释：“因为我走。”即使成人直接教给儿童知识，知识在儿童头脑中的意义也不是现成的，而是建构起来的。这经历了一个生发、形成的创造性认知过程，而非简简单单地接受、印入现成的东西。

建构主义认为：人的认识本质是主体的“构造”过程。所有的知识都是我们自己的认识活动的结果。我们通过自己的经验来构造自己的理解，反之，我们的经验又受到自己认知“透视”的影响。“理解”并不是指学生弄清教师的本意，而是指学习者已有的知识和经验对教师所讲的内容重新加以解释、重新建构其意义。因此，我们不难理解学生所学到的往往并非是教师所教的这一“残酷”事实。例如在教学中最常见的表现是：教师尽管在课堂上讲解得头头是道，学生对此却充耳不闻；教师在课堂上详细分析过的数学习题，学生在作业或测验中仍然可能是谬误百出；教师尽管如何地强调数学的意义，学生却仍然认为数学是毫无意义的符号游戏。教得多并不意味着学得也多，有时教得少反而学得多。在一定意义上说，没有一个教师能够教数学，好的教师不是在教数学，而是能激发学生自己去学数学。

为了切身体验一下知识的建构过程，请阅读下面一段文字：“有一个小孩，坐在自家门前，看见一辆卖雪糕的车开过来，突然想起春节时奶奶给的压岁钱，猛地冲进屋内……”。这个小孩猛地冲进屋内可能干什么？拿钱准备买雪糕。如果学习只是复制、印入信息，那我们充其量只接受到“猛地冲进屋内”那里。“省略号”所代表的意义是从哪儿来的，来自这段文字吗？不是，而是来自我们的解释和推测。

如果我们把这段文字中的“卖雪糕的车”换成“希望工程捐款车”，变成下面这段文字：“有一个小孩，坐在自家门前，看见一辆‘希望工程’捐款车开过来，突然想起春节时奶奶给的压岁钱，猛地冲进屋内……”。这个小孩这次猛地冲进屋内可能干什么呢？拿钱准备捐款。倘若我们从不知道“希望工程”是什么，也不知道“捐款”是什么，你能想到他进屋拿钱准备捐款吗？恐怕我们可能还以为这是一辆什么稀奇古怪的车，小孩是由于恐慌而躲进屋里呢。

这说明，学习不只是印入信息，而是调动、综合、重组甚至改造头脑中已有的知识经验，对所接受到的信息进行解释，生成了个人的意义或者说自己的理解。个人头脑中已有的知识经验不同，调动的知识经验相异，对所接受到的信息的解释就不同。也就是说，知识的意义不是现成的，而是学习者经过建构活动而生成的。

如果说学习是建构知识的过程，是学习者面对新事物、新现象、新问题、新信息时，充分利用已有的知识经验进行了自己的解释，生成了自己的含义，那么，这一个过程必然不是被动的，而是主动的、自主的。学习者一旦遇到什么新事物、新现象、新问题、新信息，感到好奇和困惑，而且有化解好奇、消除困惑的需要，那他就自然而然地充分激活、联想过去的知识经验，进行高层次思维，来尝试作出各种解释，生成自己的理解。

在实际的学习中，学习者的自主性、主动性还体现在自主选择性上。学习者并不是被动地接受信息，而是根据过去的知识经验主动选择、寻找信息，然后加以解释。有研究表明，即使是婴儿也是积极的学习者，而不是在被动地接受刺激。他们所走进的世界不是一个“乱哄哄的地方”，一个任何刺激都同等重要的场所。他们的头脑优先接受特定的信息：语言、数概念、自然界的特征以及物体的运动等。知识的建构过程是学习者主动、自主进行的，不仅是主动选择信息，而且是自主决定其意义，“自主”是建构性学习的本质属性。

需要注意的是，越来越多的建构主义认为，认识应当被看成是主客体相互作用的产物，也即是反映和建构的辩证统一。如果完全否认了独立于思维的客观世界的存在，并认为认识活动的最终目的不应被看成对于客观真理的追求，则必然导致“极端建构主义”。建构主义者认为，每个人都以自己的方式理解事物的某些方面，学习过程要增进学习者之间的合作，使其看到那些与自己不同的观点，完善对事物的理解，因此，合作学习受到社会建构主义的重视。

根据建构主义的知识观和学习观，知识不是东西，学习不是接受东西，那么，教学就不是传递东西，而是创设一定环境和支持，促进学习者主动建构知识的意义。

如果按照以往的观念，知识是东西，学习是接受东西，那么，教学就顺理成章地是传递东西。按照这样的教学观，教师的责任就是传递人类社会发现的东西；教师的工作就是先把书本上客观存在的、绝对正确的、确定无疑的东西复制到自己的头脑中，然后呈现、讲解、演示出来，一点一点地拷贝到学生的头脑中去；教师的目的就是使学生头脑中所接受到的东西与自己头脑中的、书本上的东西一模一样，正如教师将后中的茶杯传递给学生一样——茶杯在教师手中是什么样的，在学生手中也应当是绝对相同的。通过练习、考试等活动，让学生做一些选择题、匹配题、填空题等，教师就能知道，学生头脑中所得到的东西与自己头脑中的东西是不是一致的。教师在课堂上所关注的是：我怎么呈现、讲解、演示，一旦把信息讲出来了，我就大功告成了，就想当然地以为，这些信息在学生头脑中自然获得了与我头脑中一样的含义。因此不再关注：这些信息在学生的头脑中是如何解释的，又生成了什么意义。

建构主义认为，知识的意义是由学习者自己建构起来的，知识的意义是无法通过直接传递而实现的。教学不是传递东西或者产品。要说教师在传递的话，教师充其量只是传递了语言文字符号信息，至于这些信息在学生头脑中是什么意思，最终还是由学习者决定的、建构的。这好像收发电报一样，发送方邮局不能直接将汉字发送给对方，必须先根据已有的编码规则，将汉字转换成拼音字母，再转换成源代码。接受方邮局接到电报源代码后，也不能直接获得汉字，而是必须利用已有的解码规则，将源代码转译成拼音字母，然后再转换成汉字。接受方没有接受现成的“意义”，而是对接受到的代码信息进行了“建构”过程，“解释”了这些信息，生成了“意义”。

人与人之间的交流也是如此，讲者无法将自己的语义直接传递给听者，只能依靠语言文字符号信息来传递。讲者先根据自己已有的知识经验，将语义转换成信息，“发送”给听者。听者接受这些信息后，则要根据自己已有的知识经验，将信息转换成自己的语义。

但是，人际交流与电报交流存在明显差别。在电报中，两方邮局所用的代码转换(编码和解码)规则是一致的，故而能够成功获得一致的汉字。但在人际交流中，讲者和听者头脑中已有的知识经验不同(即代码解码规则不同)，对同样信息的转译的结果将是不完全一致的。

在教学中，教师不仅要让学习者知道什么，更可贵的是要让学习者感受到什么，知识的意义不能直接传递，对知识的情感就更不能传递了。教师不只是关注如何呈现、讲解、演示信息，更重要的是，要创设一定的环境，促进学生自己主动建构知识的意义，时刻关注、了解、探知学生头脑中对知识意义的真实建构过程，并适时提供适当的鼓励、辅导、提示、点拨、帮助、支持，进一步促进学生的建构活动。

鉴于数学的对象主要是抽象的形式化的思想材料，数学的活动也主要是思辨的思想活动，因此数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程。数学建构活动不应理解为在学生头脑中机械地重复或简单地组合，而主要是一个意义建构的过程，即把这种抽象化的思想材料与学生已有的知识和经验联系起来，从而纳入学生的数学认知结构中。

数学建构主义学习的实质是：主体通过对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义。所谓“思维构造”是指主体在多方位地把新知识与多方面的各种因素建立联系的过程中，获得新知识意义。首先要与所设置的情境中的各种因素建立联系，其次要与所进行的活动中的因素及其变化建立联系，又要与相关的各种已有经验建立联系，还要与认知结构中有关知识建立联系。这种建立多方面联系的思维过程，构造起新知识与各方面因素间关系的网络构架，从而最终获得新知识的意义。在这个过程中，有外部的操作活动，也有内部的心理活动，还有内部和外部的交互活动。“建构”学习是以学习者为参照中心的自身思维构造的过程，是主动活动的过程，是积极创建的过程，最终所建构的意义固着于亲身经历的活动背景，溯于自己熟悉的生活经验，扎根于自己已有的认知结构。

“建构”同时是建立和构造关于新知识认识结构的过程。“建立”一般是指从无到有的兴建；“构造”则是指对已有的材料、结构、框架加以调整、整合或者重组。主体对新知识的学习，同时包括建立和构造两个方面，既要建立对新知识的理解，将新知识与已有的适当知识建立联系，又要将新知识与原有的认知结构相互结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。一方面新知识由于成为结构中的一部分，就与结构中的其它部分形成有机联系，从而使新知识的意义在心理上获得了建构；另一方面原有的认知结构由于新知识的进入，而更加分化和综合贯通，从而获得了新的意义，可见建构新知识的过程，既建构了新知识的意义，又使原认知结构得到了重建。

数学的建构主义学习可以比喻为：主体在心理上建造一个认识对象的“建筑物”。其建构材料，除了有关新知识的少量信息来自于外部，多数信息主要来自于心理内部——已有的知识、经验、方法和观念；建造的过程除最初阶段少量外部活动以外，主要是内部的心理活动、是一系列思维动作的内部操作。这个内部“心理建筑物”的建构当然不是轻而易举的，从寻找“建筑材料”，辨认材料之间的实质性联系，到将心理上毫无关联的材料建立起非人为的联系等等，都是内部心理上的思维创造过程，以这样的方式对新知识所建构的意义，植根于主体原有的认知结构之中，植根于主体原有的认知网络之中。这是外界力量所不能达到的，当然也是教师所不能传授的，教师的传授实际是向学生的头脑里嵌入一个外部结构，这与通过内部创造而建立起的心理结构是完全不同的。外部结构嵌入的过程，是被动活动的过程，模仿复制的过程，最终所获得的意义缺少生动的背景，缺少经验支撑，缺少广泛知识的联系，也就缺少迁移的活动。

数学的概念、定理、公式、法则等虽然是一些语言和符号，但它们都代表了确定的意义，这些意义是数学家们根据客观事物属性的感知进行思维构造的结果，这些语言符号只不过是这种思维结果的表达形式，也可以说是概念、定理、公式、法则的思维存在形式。学生要获得这些数学概念、定理、公式、法则的意义，并不是仅仅记住这些思维结果的表达形式，而是也需要经过自身为参照中心的思维构造过程，只不过因为有前人构造的经验，有教师创设的情境，从而使得学习过程中的思维构造有捷径可循。个体思维对认识对象的客观属性感知以后，对其进行思维构造，构造的结果就是新知识的心理意义，也就是对新知识意义的建构，新知识的意义不仅是建构活动的结果，而且还是下一次新知识建构活动中思维创造的原料和工具。如果是外部嵌入的结构，因其仅仅是一个相对的孤立体，缺乏与原有认知结构的有机联系，因而其难以寻找，难以辨认，更难以将其与新知识去建立非人为和实质性的联系，造成无法建构新知识的心理意义，当主体被迫去记住它的意义时，就仅仅是一个相对孤立体的嵌入，机械学习就这样产生并恶性循环下去。

数学建构主义学习，是主体对客体进行思维构造的过程，是主体在以客体作为对象的自主活动中，由于自身的智力参与而产生出个人体验的过程。客体的意义正是在这样的过程中建立起来的，“自主活动”“智力参与”和“个人体验”，就是数学建构主义学习的主要特征。

在数学建构学习的活动中，获得“个人体验”是至关重要的。“个人体验”有语言成分，也有非语言成分。当完成某个数学新知识的建构时，其语言表征仅仅是可以表达出来的外部形式，除此之外还有不能以外部形式表现出来的非语言表征，但非语言表征与语言表征紧密联系，并给予语言表征有力的支撑。这就是说，数学认识的建构是语言和非语言双重编码的，我们一般只是比较重视语言编码而忽视非语言编码。事实上在数学的建构活动中，常常先进行非语言编码，然后才进行语言编码。建构主义认为，在信息加工、贮存和提取的过程中，语言和非语言表征同样重要。在对客体的主动活动中，主体在获得语言表征的同时，还获得情节表征和动作表征。语言表征是活动中经验的抽象和概括，情节表征是活动中的视觉映象或其它映象，动作表征则是行动中获得的直接体验。这些语言的非语言的编码或表征，使主体获得了客体丰富、复杂、多元的特征，这也就是主体所获得的“个人体验”，并由此在心理上达到对客体完整的意义建构。如果仅仅只有语言编码而没有非语言编码，那么认识是不完全的。因此，如果数学学习的内容仅仅通过语言的形式传递给学生时，会由于缺少非语言表征而造成其个人体验的残缺不全。

数学新知识的学习活动，是主体在自己的头脑里建立和发展数学认知结构的过程，是数学活动及其经验内化的过程。这种内化的过程，完全是自主行为，而且只有通过主体积极主动的智力参与才能实现，别人是根本无法替代的。所谓“智力参与”，就是主体将自己的注意力、观察力、记忆力、想象力、思维力和语言能力都参与进去。由于数学建构学习活动的本质是思维构造，就表明这是一个创造的过程，尽管是再创造，但是对学习者本人还是处于第一次发现发明的地位，因而主体一定要有高水平的智力参与，这个创造的过程才可能得以实现。在解决问题的过程中，建构主义认为首先要对问题的意义进行建构，就是从记忆中激活和提取与问题相关的知识和经验，对问题的现有状态、目标状态，现有状态和目标状态的差别，以及可以进行哪些操作来缩小这样差别等，建立理解和联系。在建构“问题意义”的过程中主体的已有经验起着十分重要的作用。对“问题意义”成功的建构，是将新问题纳入到已有解题认识结构的过程中，主要依赖于新问题与主体认识结构中关于解题的各个范例（模板）、一般模式（原形）、或特征的比较，进行模式识别。因此对问题意义的建构，就是外部输入的信息与来自认知结构的内部信息的一种综合。这种比较和综合可以激活或立即回忆起相应的知识、方法、策略或思想，从而一步一步地将所面临的问题解决。这无疑更是一种高水平的智力参与活动。

数学建构主义的学习的学生以自主活动为基础，以智力参与为前提，又以个人体验为终结。学生的自主活动，第一是活动；第二是学生的自主积极性。之所以强调“活动”，就是为了强调要在“做数学中学数学”。活动是个人体验的源泉，是语言表征、情节表征、动作表征的源泉，所以对建构主义学习来说，活动是第一位的，对处于认知发展阶段的学生而言，这种活动最初主要表现为外部活动，由于主体自身的智力参与，使外部的活动过程内化为主体内部的心理活动过程，并从中产生出主体的个人体验。同时活动必须是学习者主动和积极进行的，学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，而不是被动活动者，以及意义的被灌输者，虽然活动在教师创设的情境之下进行，但是却要由主体自己控制。建构学习的目的是为了在心理上获得客体的意义，这不是简单地在头脑里登记一下就了事的，而是必须对客体主动进行感知，并在对输入的信息加工时进行积极的心理活动，没有学生的主动性和积极性是不能完成的。活动自主性的重要标志是主体的智力参与，主体的智力参与程度越高，活动的自主性就越强。在自主活动下，由于自身的智力参与而产生的个人体验，就是新知识心理意义的基石，最终升华为新知识的心理意义。

数学学习活动是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动建构过程。学习者能否主动建构形成良好的认知结构，取决于原有的认知结构里是否具有清晰（可辨别的）、可同化新的知识的观念（固定点、生长点）以及这些观念的稳定情况。因为数学知识前后联系非常紧密，前一个知识是后一个知识的基础，后一个知识又是前一个知识的发展，一环紧扣着一环。所以，教师在钻研教材、设计教法时，不仅要从整体上把握教材知识结构，而且要考虑新旧知识是如何连接延伸的，考虑新旧知识是如何沟通联系的，从而找准新旧知识的连接点、不同点和新知识的生长点。

数学并不是单纯的知识，而是思想、观念。数学观念是指对数学的基本看法和概括认识，是数学思维和现代人类思维的重要特征之一。它是数学学习过程中数学思维活动的产物，又对数学学习起到调整、定向、推进的作用。诸如推理、抽象、化归意识等等，都是数学观念的具体内容。

按照建构主义观点，了解、掌握学生真实的数学思想、观念是数学教学工作的关键，不仅要注意了解学生具有什么样的真实思想、观念，而且更应注意研究这些观念是如何形成的？又应如何促进这些思想观念的必要修正、改进和发展？因此要注意：(1)对学生所具有思想、观念给予暴露的机会。(2)转变“观念”，对学生的数学建构活动的“素朴观念”、“非标准观念（noncanonical conception）”不应简单地看成“错误观念（misconceptions）”，而应看成与“标准观念”相“平行”的“替代观念”（alternative conception），应明确“替代观念”向“标准观念”转变的必要性，学习过程是观念的不断发展和更新，也即是“替代观念”与“标准观念”的不断整合和调和。(3)帮助学生对不同的思想、观念作比较。(4)重视“学习共同体”的建立和协作、交流，学生不仅有更多的机会对自己的思想、观念进行表述和辩论（反省），还可以学会评价及受到他人思想、观念的启发，从而使数学对象的思维构造在心理上建构起更完整的意义。

“抛锚式教学”要求建立在有感染力的真实事件或真实问题的基础上。确定这类真实事件或问题被形象地比喻为“抛锚”，因为一旦这类事件或问题被确定了，整个教学内容和教学进程也就被确定了（就像轮船被锚固定一样）。建构主义认为，学习者要想完成对所学知识的意义建构，即达到对该知识所反映事物的性质、规律以及该事物与其他事物之间联系的深刻理解，最好的办法是让学习者到现实世界的真实环境中去感受、去体验（即通过获取直接经验来学习），而不是仅仅聆听别人（例如教师）关于这种经验的介绍和讲解。由于抛锚式教学要以真实事例或问题为基础（作为“锚”），所以有时也被称为“实例式教学”或“基于问题的教学”。

抛锚式教学主张“应使学习在与现实情境相类似的情境中发生，以解决学生在现实生活中遇到的问题为目标。”“这种教学的过程与现实的问题解决过程相类似，所需要的工具往往隐含于情境当中，教师并不是将提前已准备好的内容教给学生，而是在课堂上展示出与现实中专家解决问题相类似的探索过程，提供解决问题的原型，并指导学生的探索。”抛锚式教学的主要目的是使学生在一个完整、真实的问题背景中，使学生产生学习的需要，并通过学习共同体成员间的互动、交流（即合作学习），通过自己的主动学习、生成学习，亲身体验从识别目标到提出和达成目标的全过程。抛锚式教学是使学生适应日常生活，学会独立识别问题、提出问题、解决真实问题的一个十分重要的途径。

支架式教学被定义为：“支架式教学应当为学习者建构对知识的理解提供一种概念框架。这种框架中的概念是为发展学习者对问题的进一步理解所需要的，为此，事先要把复杂的学习任务加以分解，以便于把学习者的理解逐步引向深入。”

支架原本指建筑行业中使用的脚手架，在这里用来形象地描述一种教学方式：儿童被看作是一座建筑，儿童的“学”是在不断地、积极地建构着自身的过程；而教师的“教”则是一个必要的脚手架，支持儿童不断地建构自己，不断建造新的能力。支架式教学是以前苏联著名心理学家维果茨基的“最近发展区”理论为依据的。维果茨基认为，在测定儿童智力发展时，应至少确定儿童的两种发展水平：一是儿童现有的发展水平，一种是潜在的发展水平，这两种水平之间的区域称为“最近发展区”。教学应从儿童潜在的发展水平开始，不断创造新的“最近发展区”。支架教学中的“支架”应根据学生的“最近发展区”来建立，通过支架作用不停地将学生的智力从一个水平引导到另一个更高的水平。

建构主义者认为，学习可以分为初级学习和高级学习两类。初级学习，只要求学生通过练习和反馈而掌握一些重要的概念和事实；在测验中只要求他们将所学的东西按原样再生出来。高级学习，则要求学生把握概念的复杂性，能根据具体情况改造和重组自己的知识经验。传统教学混淆了高级学习与初级学习之间的界限，将初级学习阶段的教学策略不合理地推及高级学习阶段，使教学过程过于简单化。这种偏向正是妨碍知识在具体情境中广泛而灵活迁移的主要原因。基于对高级学习的理解，建构主义者提出了“随机通达教学”。

随机通达教学，也称随机进入教学，是在认识灵活性理论的指导下提出的针对高级学习的一种教学方式。由于高级知识的复杂性和实例的差异性，人们在运用知识解决实际问题时，任何对事物的简单的理解都会漏掉事物的某些方面，而这些方面在另一个情境中或是从另一个角度看时可能是非常重要的。因此，学习过程中对于信息意义的建构可以从不同的角度入手，从而获得对不同方面的理解。

随机通达教学的核心主张是，对同一内容的学习，要在不同时间、在重新安排的情景下、带着不同目的以及从不同的角度多次进行，以此达到高级知识获得的目标。具体来说，对同一内容的学习要有不同时间多次进行，每次的情境都是经过改组的，而且目的不同，分别着眼于问题的不同侧面。由于在各次学习的情境方面会有互不重合的方面，这种反复并非为巩固知识技能而进行的简单重复，而是把概念具体到一定实例中，并与具体情境联系起来。每个概念的教学都要涵盖充分的实例，分别用于说明不同方面的含义，各实例都可能同时涉及到其它概念。在这种学习中，学习者可以形成对概念的多角度理解，并与具体情境联系起来，形成背景性经验。这种教学有利于学习者针对情境建构用于指引问题解决的图式。

在结构性方面，问题有良构问题和非良构问题之分。良构问题很典型地呈现出问题的全部要素，包含有限数量的规则和原理，而这些规则和原理是以肯定的和规定性的安排而组织起来的；它往往拥有正确的、收敛的答案，并且有一个优先的、建议性的解决方法（Jonassen,1997）。

相比而言，非良构问题是在日常生活实践中所遇到的那些种类的问题，所以它们很典型的特征是，往往是新出现的。因为它们不是被限制在课堂上所学的内容领域里，它们的解决方案是不能被预料到的，也不是收敛的。它们常需要几个内容领域的整合。例如，对于像环境污染这样的问题的解决就需要有数学、科学、政治科学和心理学的知识。对这种问题可能有许多可供选择的方案。同时，非良构问题还有不明确规定的或不清晰的目标和未陈述出来的限制；它们可能会有多种解决途径，或者根本就没有解决办法。对这种问题的解决办法的评价也很可能会有多个标准（Jonassen,1997）。